Question

6．已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=$\frac{π}{4}$和x=$\frac{5π}{4}$是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则
（1）求f（x）的解析式；
（2）设h（x）=f（x）+$\sqrt{3}cos（x+\frac{π}{4}），当x∈[{0，π}]时，求h（x）的单调减区间$．

Answer 1

分析 （1）根据题意求出ω、φ的值，得出f（x）的解析式；
（2）根据f（x）写出h（x）并化简，根据三角函数的图象与性质求出h（x）的单调减区间．

解答 解：（1）由题意可知函数f（x）的最小正周期为
T=2×（$\frac{5π}{4}$-$\frac{π}{4}$）=2π，即$\frac{2π}{ω}$=2π，ω=1；  …（2分）
∴f（x）=sin（x+φ）；
令x+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，…（3分）
将x=$\frac{π}{4}$代入可得φ=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z；
∵0＜φ＜π，∴φ=$\frac{π}{4}$；  …（4分）
∴f（x）=sin（x+$\frac{π}{4}$）；  …（5分）
（2）∵f（x）=sin（x+$\frac{π}{4}$），
∴h（x）=f（x）+$\sqrt{3}$cos（x+$\frac{π}{4}$）
=sin（x+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{3}$cos（x+$\frac{π}{4}$）
=2×[$\frac{1}{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（x+$\frac{π}{4}$）]
=2sin（x+$\frac{7π}{12}$），…（8分）
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤x+$\frac{7π}{12}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{π}{12}$+2kπ≤x≤$\frac{11π}{12}$+2kπ，k∈Z；
∵x∈[0，π]，
∴h（x）的单调减区间为[0，$\frac{11π}{12}$]．       …（12分）

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．