Question

20．若（2-x）²⁰¹⁵=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₅x²⁰¹⁵，则$\frac{{a}_{0}+{a}_{2}+{a}_{4}+…+{a}_{2014}}{{a}_{1}+{a}_{3}+{a}_{5}+…+{a}_{2015}}$=$\frac{{1+3}^{2015}}{1{-3}^{2015}}$．

Answer 1

分析 在所给的等式中，令x=1，可得a₀+a₁+a₂+…+a₂₀₁₅ =1 ①，再令x=-1，可得a₀-a₁+a₂+…-a₂₀₁₅ =3²⁰¹⁵ ②，由①②求得a₀+a₂+a₄+…+a₂₀₁₄ 和a₁+a₃+a₅+…+a₂₀₁₅ ，从而求得要求式子的值．

解答 解：∵（2-x）²⁰¹⁵=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₅x²⁰¹⁵，
令x=1，可得a₀+a₁+a₂+…+a₂₀₁₅ =1 ①，
再令x=-1，可得a₀-a₁+a₂+…-a₂₀₁₅ =3²⁰¹⁵ ②，
由①+②可得a₀+a₂+a₄+…+a₂₀₁₄ =$\frac{1{+3}^{2015}}{2}$，
由①-②可得a₁+a₃+a₅+…+a₂₀₁₅ =$\frac{1{-3}^{2015}}{2}$，
∴$\frac{{a}_{0}+{a}_{2}+{a}_{4}+…+{a}_{2014}}{{a}_{1}+{a}_{3}+{a}_{5}+…+{a}_{2015}}$=$\frac{{1+3}^{2015}}{1{-3}^{2015}}$，
故答案为：$\frac{{1+3}^{2015}}{1{-3}^{2015}}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于基础题．