已知函数
的图像在点
处的切线斜率为10.
(1)求实数
的值;
(2)判断方程
根的个数,并证明你的结论;
(21)探究: 是否存在这样的点
,使得曲线
在该点附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧? 若存在,求出点A的坐标;若不存在,说明理由.
（1）8；（2）一个，证明参考解析；(21)
解析试题分析：（1）曲线上切线的斜率是通过导数的几何意义，求曲线的导数再将该点的横坐标代入即可求得该点的斜率，从而可解得的值.
（2）判断方程的根的情况，一般是通过构造新的函数从而证明函数的与x轴的交点的个数得到对应方程的根的个数.
(21)因为是否存在这样的点,使得曲线在该点附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧.是通过说明过该点的切线方程与曲线方程联立后，构建一个新的函数，要说明该点不是新函数的极值点即可.
试题解析：（1）因为
.图像在点处的切线斜率为10，
.解得
.
（2）方程 只有一个实根.证明如下：由（1）可知
，令
，因为
，
，所以在
内至少有一个实根.又因为
.所以
在递增，所以函数在上有且只有一个零点，及方程有且只有一个实根.
(21)由，
，可求得曲线在点处的切线方程为
.即
.记
，
.若存在这样的点，使得曲线在该点附近的左右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧，则问题等价于
不是极值点，由二次函数的性质可知，当且仅当
时，不是极值点，即
.所以
在上递增.又
，所以当
时，
，当
时，
，即存在唯一点.使得曲线在点A附近的左右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧.
考点：1.函数求导.2.函数与方程的根的关系.3.构建新函数的思想.4.正确理解题意建立函数解题的思想.5.分类猜想等数学思想.
53随堂测系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知函数f(x)＝
＋a，g(x)＝aln x－x(a≠0)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求证：当a>0时，对于任意x1，x2∈
，总有g(x1)<f(x2)成立．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1(a∈R)，f′(x)是f(x)的导函数．
(1)若x∈[－2，－1]，不等式f(x)≤f′(x)恒成立，求a的取值范围；
(2)解关于x的方程f(x)＝|f′(x)|； ?
(3)设函数g(x)＝
，求g(x)在x∈[2,4]时的最小值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知函数
，
（
为常数），直线
与函数
、
的图象都相切，且与函数图象的切点的横坐标为
．
（1）求直线的方程及的值；
（2）若
[注：
是的导函数]，求函数
的单调递增区间；
（3）当
时，试讨论方程
的解的个数．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知x＝3是函数f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x的一个极值点．
(1)求a；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)若直线y＝b与函数y＝f(x)的图象有3个交点，求b的取值范围．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知向量m＝(ex，ln x＋k)，n＝(1，f(x)]，m∥n(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴垂直，F(x)＝xexf′(x)．
(1)求k的值及F(x)的单调区间；
(2)已知函数g(x)＝－x2＋2ax(a为正实数)，若对于任意x2∈[0,1]，总存在x1∈(0，＋∞)，使得g(x2)<F(x1)，求实数a的取值范围．
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.
求
的极值.
在
上为增函数。
，其中
是自然对数的底数，
.
的单调区间；
时，求函数