已知函数
.
（1）设函数
求
的极值.
（2）证明：
在
上为增函数。
（1） 当
时，
无极值；当
时，在
处取得极小值
，无极大值。 （2）见解析
解析试题分析：（1）
,在求极值时要对参数
讨论,显然当时为增函数,无极值,当时可求得
的根,再讨论两侧的单调性;（2）要证明增函数,可证明
恒正,可再次对函数
进行求导研究其单调性与最值,只要说明的最小值恒大于等于0即可.已知函数在一个区间上的单调性,可转化为导函数在这个区间上恒正或恒负问题,变为一个恒成立问题,可用相应函数的整体最值来保证,若求参数范围可以采用常数分离法.
试题解析：（1）由题意：
①当时，
，为
上的增函数，所以无极值。
②当时，令得， 
，
；
，
所以在
上单调递减，在
上单调递增
所以在处取得极小值，且极小值为
，无极大值
综上，当时，无极值；当，在处取得极小值，无极大值。
（2）由
设
，则
所以
时，
；时，
所以
在
上单调递减,在
上单调递增,
所以
即
在上单调递增.
考点：1、函数的极值最值求法；2、构造函数解决新问题.
快乐小博士巩固与提高系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知x＝3是函数f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x的一个极值点．
(1)求a；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)若直线y＝b与函数y＝f(x)的图象有3个交点，求b的取值范围．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知函数
的图像在点
处的切线斜率为10.
(1)求实数
的值;
(2)判断方程
根的个数,并证明你的结论;
(21)探究: 是否存在这样的点
,使得曲线
在该点附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧? 若存在,求出点A的坐标;若不存在,说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，现要在边长为
的正方形
内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为
（
不小于
）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为
的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于
，绕岛行驶的路宽均不小于
.
（1）求的取值范围；（运算中
取
）
（2）若中间草地的造价为
元
，四个花坛的造价为
元，其余区域的造价为
元，当取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？
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．
时，①若
的图象与
的图象相切于点
，求
及
的值；
在
上有解，求
时，若
在
上恒成立，求
的取值范围．
.
时，求函数
时，若
恒成立，求
的取值范围.
图像过点
，且在
处的切线方程是
.
的解析式；
上的最大值和最小值．
，其中
.
，求函数
的极值点；
内单调递增，求实数
的取值范围.
，其中
为常数. 
是区间
上的增函数，求实数
在
时恒成立，求实数