Question

已知{an}是等差数列，其前n项的和为Sn， {bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝21，

S4＋b4＝30．

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（2）记cn＝anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．

 

Answer 1

（1）an＝n＋1，bn＝2n，（2）Tn＝n·2n＋1

【解析】

试题分析：（1）求等差数列及等比数列通项公式，通常利用待定系数法求解. 设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d．由条件a4＋b4＝21，S4＋b4＝30，得方程组解得.所以an＝n＋1，bn＝2n，n∈N*．（2）数列{cn}是等差乘等比型，因此其和用错位相减法求. 记Tn＝c1＋c2＋c3＋ ＋cn．2 Tn＝2×22＋3×23＋ ＋(n－1)×2n－1＋n×2n＋ (n＋1)2n＋1，所以－Tn＝2×2＋(22＋23＋ ＋2n )－(n＋1)×2n＋1，即Tn＝n·2n＋1，n∈N*．

试题解析：【解析】
（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．

由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d． 3分

由条件a4＋b4＝21，S4＋b4＝30，得方程组解得

所以an＝n＋1，bn＝2n，n∈N*． 7分

（2）由题意知，cn＝(n＋1)×2n．

记Tn＝c1＋c2＋c3＋ ＋cn．

则Tn＝c1＋c2＋c3＋ ＋cn

＝2×2＋3×22＋4×23＋ ＋n×2n－1 ＋(n＋1)×2n，

2 Tn＝ 2×22＋3×23＋ ＋(n－1)×2n－1＋n×2n＋ (n＋1)2n＋1，

所以－Tn＝2×2＋(22＋23＋ ＋2n )－(n＋1)×2n＋1， 11分

即Tn＝n·2n＋1，n∈N*． 14分

考点：等差数列及等比数列通项公式，错位相减法求和