Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底面ABCD对角线的交点．
（1）求直线BC₁和平面AA₁C₁C所成的角；
（2）求证：平面AA₁C₁C⊥平面AB₁D₁．

Answer 1

解：（1）设正四面体边长为a，
∵AC⊥BD，AA₁⊥BD，AC∩AA₁=A，
∴BD⊥平面AA₁C₁C，垂足为点O，
则BC₁和平面AA₁C₁C所成的角即为BD与OC₁所成的角．
∵BC₁=a，BD=a
∴∠BC₁D=30°
即BC₁和平面AA₁C₁C所成的角为30°；
（2）证明：∵BD∥B₁D₁，
∴由（1）知B₁D₁⊥平面AA₁C₁C，
∴平面AB₁D₁⊥平面AA₁C₁C．
分析：（1）要求BC₁和平面AA₁C₁C所成的角，需找到过BC₁上某点垂直于平面AA₁C₁C的直线（BD满足），再由线面所成角的定义即可求得答案；
（2）利用BD∥B₁D₁与面面垂直的判定定理即可获证．
点评：本题考查直线与平面所成的角与平面与平面垂直的判定，考查分析与证明的能力，属于中档题．