Question

在数列{a_n}和{b_n}中，a_n=aⁿ，b_n=（a+1）n+b，n=1，2，3，…，其中a≥2且a∈Z，b∈R．
（Ⅰ）若a₁=b₁，a₂＜b₂，求数列{b_n}的前n项和；
（Ⅱ）证明：当a=2，b=

2

时，数列{b_n}中的任意三项都不能构成等比数列；
（Ⅲ）设A={a₁，a₂，a₃，…}，B={b₁，b₂，b₃，…}，设C=A∩B．当b=1时，求出相应的集合C．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：

分析：（Ⅰ）利用等差数列的通项公式和求和公式问题得以解决；
（Ⅱ）利用反证法，假设3m+

2

，3p+

2

，3t+

2

，成等比数列，其中m，n，p∈N^*，
（Ⅲ）利用分类讨论的思想，当s=

a2-1

a+1

，分t=1，t=2n，t=2n+1三种情况讨论．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁=b₁，∴a=a+1+b，即b=-1，
∵a₂＜b₂，∴a²-2a-1＜0，
即1-

2

＜a＜1+

2

，
∵a≥2，且a∈N^*，
∴a=2，
∴b_n=3n-1，数列{b_n}是以2为首项，3为公差的等差数列，
∴sn=

n(b1+bn)

2

=

3

2

n2+

1

2

n．
（Ⅱ）∵b_n=（a+1）n+b，a=2，b=

2

∴b_n=3n+

2

，
假设3m+

2

，3p+

2

，3t+

2

，成等比数列，其中m，n，p∈N^*，
且彼此不等，则（3p+

2

）²=（3m+

2

）（3t+

2

），
∴9p2+6

2

p+2=9mt+3

2

t+2，
∴

p2=mt 2p=m+t

，
可得m=t，与m≠t矛盾；假设不成立．
可得数列{b_n}中的任意三项都不能构成等比数列．
（Ⅲ）当b=1时，设m₀∈C，则m₀∈A，且m₀∈B，设m₀∈a² （t∈N^*_），
m₀∈（a+1）s+1（t∈N^*_），则a²=（a+1）s+1，
∴s=

a2-1

a+1

，
∵a，t，s∈N^*，且a≥2，所以a²-1能被a+1整除．
（1）当t=1时，s=

a-1

a+1

∉N^*；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（2）当t=2n（n∈N^*）时，a²ⁿ-1=[（a+1）-1]²ⁿ-1=(a+1)2n+…+

C

1 2n+1

(a+1)+1-1，
所以所以a²-1能被a+1整除．
（3）当t=2n+1（n∈N^*）时，a²ⁿ⁺¹-1=[（a+1）-1]^2n-1-1=(a+1)2n+1+…+

C

1 2n+1

(a+1)-2，
所以所以所以a²-1不能被a+1整除．
综上所述，b=1时，C={y|y=a²ⁿ，n∈N^*}．

点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及利用反证法证明问题，解题时要认真审题，仔细解答．