Question

已知圆C：（x-3）²+y²=5与抛物线y²=2px（p＞0）在x轴上方交于A，B两点，
（1）求实数p的取值范围；
（2）若∠ACB=90°，求实数p的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）圆C：（x-3）²+y²=5与抛物线y²=2px方程联立，可得：（x-3）²+2px=5，由△=（2p-6）²-16＞0，可求实数p的取值范围；
（2）若∠ACB=90°，

CA

•

CB

=0，利用数量积公式，结合韦达定理，即可求实数p的值．

解答： 解：（1）圆C：（x-3）²+y²=5与抛物线y²=2px方程联立，可得：（x-3）²+2px=5，
即x²+（2p-6）x+4=0，
∵圆C：（x-3）²+y²=5与抛物线y²=2px（p＞0）在x轴上方交于A，B两点，
∴△=（2p-6）²-16＞0，
∴p＜1或p＞5；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（y₁＞0，y₂＞0），则x₁+x₂=6-2p，x₁x₂=4，
∵∠ACB=90°，
∴

CA

•

CB

=0，
∴（x₁-3，y₁）•（x₂-3，y₂）=0，
∴（x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂=0，
∴x₁x₂-3（x₁+x₂）+2p

x1x2

=0，
∴4-3（6-2p）+4p=0，
∴p=

7

5

．

点评：本题考查圆与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．