Question

已知数列{a_n}与{b_n}，若a₁=3且对任意正整数n满足a_n+1-a_n=2，数列{b_n}的前n项和S_n=n²+a_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{

1

b nbn+1

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知可得数列{a_n}是公差为2的等差数列，由等差数列的通项公式求a_n；把a_n代入S_n=n²+a_n．利用S_n-S_n-1=b_n（n≥2）求通项公式；
（Ⅱ）首先求出T₁，当n≥2时，由裂项相消法求数列{

1

b nbn+1

}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知数列{a_n}是公差为2的等差数列，
又∵a₁=3，∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
列{b_n}的前n项和S_n=n²+a_n=n²+2n+1=（n+1）²
当n=1时，b₁=S₁=4；
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=(n2+2n+1)-[(n-1)2+2(n-1)+1]=2n+1．
上式对b₁=4不成立．
∴数列{b_n}的通项公式：bn=

4，(n=1) 2n+1，(n≥2)

；
（Ⅱ）n=1时，T1=

1

b1b2

=

1

20

；
n≥2时，

1

bnbn+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，
∴Tn=

1

20

+

1

2

(

1

5

-

1

7

+

1

7

-

1

9

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

)=

1

20

+

n-1

10n+15

=

6n-1

20(2n+3)

．
n=1仍然适合上式．
综上，Tn=

1

20

+

n-1

10n+15

=

6n-1

20(2n+3)

．

点评：本题考查了求数列的通项公式，训练了裂项法求数列的和，是中档题．