Question

已知函数f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1-x），（a＞0，a≠1）
（1）若a=2，且函数f（x）的定义域为[1，15]，求f（x）的最值；
（2）求使f（x）-g（x）＞0的x的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）f（x）=log₂（1+x），利用单调性求解即可
（2）log_a（1+x）＞log_a（1-x），分类讨论，转化为不等式组求解即可．

解答： 解：（1）函数f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1-x），（a＞0，a≠1）
当a=2时，f（x）=log₂（1+x），
∵x∈[1，15]，
∴1+x∈[2，16]，
∴1≤log₂（1+x）≤4，
即f（x）的最大值为4；f（x）的小最值1；
（2）f（x）-g（x）＞0，
log_a（1+x）＞log_a（1-x），
当a＞1时，

1-x＞0 1+x＞0 1+x＞1-x

，
即0＜x＜1
当0＜a＜1时，

1-x＞0 1+x＞0 1+x＜1-x

，
即-1＜x＜0，
综上：当a＞1时，{x|0＜x＜1}
当0＜a＜1时，{x|-1＜x＜0}

点评：本题考查了对数函数的性质，运用求解最值，解不等式，难度不大，属于中档题．