Question

△ABC内角分别对应为a，b，c．B=

π

4

，tan（A+

π

4

）=

3

（1）求角C；
（2）若b-c=

2

-

3

，求三角形ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,两角和与差的正切函数

专题：解三角形

分析：（1）由已知及两角和的正切公式可解得tanA，由B=

π

4

，tanB=1利用两角和的正切公式即可求tanC的值，从而可得C的值．
（2）由b-c=

2

-

3

，可得b=

2

-

3

+c，由（1）及正弦定理可得得c，b，又由（1）可得A，sinA，从而由三角形面积公式即可得解．

解答： 解：（1）∵tan（A+

π

4

）=

3

，
∴有：

1+tanA

1-tanA

=

3

，可解得：tanA=2-

3

，
∵B=

π

4

，tanB=1，
∴tanC=tan[π-（A+B）]=-tan（A+B）=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

2- 3 +1

1-(2- 3 )

=-

3

．
∴C=

2π

3

．
（2）∵b-c=

2

-

3

，可得b=

2

-

3

+c，
∴由正弦定理可得：

2 - 3 +c

sin π 4

=

c

sin 2π 3

，可解得：c=

3- 6

3 - 2

，b=

6 -2

3 - 2

，
又∵由（1）可得：A=π-

2π

3

-

π

4

=

π

12

，sin²

π

12

=

1-cos π 6

2

=

2- 3

4

，
∴sinA=sin

π

12

=

2- 3 4

，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×

6 -2

3 - 2

×

3- 6

3 - 2

×

2- 3 4

=

(5 6 -12) 2- 3

20-8 6

．

点评：本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式的应用，考查了两角和与差的正切函数公式的应用，计算量较大，属于基本知识的考查．