Question

下列命题：
①平面内到两定点距离的差等于定长的点的轨迹不一定是双曲线；
②椭圆

x

a2

+

y2

b2

=1中的参数

b

a

不能刻画椭圆的扁平程度，而

c

a

能刻画椭圆的扁平程度；
③已知椭圆的中心在原点，经过两点A（0，2）和B（

1

2

，

3

）的椭圆的标准方程是唯一确定的
④由“若向量

a

=λ

e1

+μ

e2

（λ，μ∈R），则|

a

|²=（λ

e1

+μ

e2

）²”，可类比推理得“若复数z=a+bi（a，b∈R，则|z|²=（a+bi）²”
把以上各小题正确的答案填在横线上

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：对于①，根据双曲线的定义进行判断即可；
对于②，根据a，b的几何意义进行判断该命题的真假；
对于③，分焦点在x轴、y轴两种情况讨论，易知只有一种情况有解；
对于④，根据复数的概念以及模的计算方法易知，该项类比出的结论不正确．

解答： 解：对于①，当距离的差（常数）的绝对值小于两定点间的距离时，P点的轨迹才是双曲线，故①为真命题；
对于②，a，b分别是长半轴与短半轴，因此，当

b

a

的值越接近于1时，椭圆越“圆”，当该比值越趋近于0时，椭圆越“扁”，故

b

a

能刻画椭圆的扁平程度，故②为假命题；
对于③，若焦点在x轴上，则b=2，可设方程为

x2

a2

+

y2

4

=1，将B（

1

2

，

3

）代入得a=1＜2，所以该椭圆不存在；
当焦点在y轴上时，可设方程为

y2

4

+

x2

a2

=1，将B（

1

2

，

3

）代入得a=

4

5

，符合题意．故③真命题；
对于④，显然类比所得结论“若复数z=a+bi（a，b∈R，则|z|²=（a+bi）²”不正确，故④为假命题．
故答案为①③．

点评：命题真假的判断往往以考查概念为主，因此此类问题应注重对概念的理解和应用．