Question

（本小题满分14分）
已知函数
(Ⅰ)请研究函数的单调性；
(Ⅱ)若函数有两个零点，求实数的取值范围；
(Ⅲ)若定义在区间D上的函数对于区间D上的任意两个值x₁、x₂总有以下不等式成立，则称函数为区间D上的“凹函数”.若函
数的最小值为，试判断函数是否为“凹函数”，并对你的判断加以证明.

Answer 1

解：(Ⅰ)的定义域为，.
当时，为增函数；
当时，在区间上是增函数，在区间上是减函数.
(Ⅱ)因为函数有两个零点，所以由（1）知.此时方程有两个实数根，当时，有
，令，则由，
于是，在上递减，且；在上递减，且；
在上递增，且.所以，，
于是，实数的取值范围是.
另解：因为函数有两个零点，所以由（1）知，且为极小值，根据图像，只需要即可.
(Ⅲ)由（1）知，，其中.
对于任意的，因为

 
=>0，所以.
因此，函数在其定义域 内是 “凹函数”.

略