Question

【题目】已知圆，直线过点.

（1）若直线与圆相切，求直线的方程；

（2）若直线与圆交于， 两点，求使得面积最大的直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）或.

【解析】试题分析：(1)设直线的方程,根据点到直线的距离等于半径,求出斜率,注意切线斜率不存在的情况; (2)设直线,由点到直线的距离公式及直线与圆相交时的弦长公式,求出面积的表达式,由二次函数的最大值,求出斜率,得到直线的方程.

试题解析：

（1）①当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为，整理得.因为直线与圆相切，所以，解得，所以此时直线的方程为.

②当直线的斜率不存在时，其方程为，与圆相切，适合题意.

综上，直线的方程为或.

（2）由（1）可知当直线与圆相交时，它的斜率一定存在，设其方程为.

因为圆心到直线的距离， ，所以的面积为

，所以当时， 的面积取得最大值.

由，整理得，解得或.

所以直线的方程为或.

点睛: 本题主要考查了有关圆的相关知识,属于中档题.思路: (1)由于点(5,0)在圆外,所以过点(5,0)作圆的切线一定有两条,若假设直线的斜率存在,算出来只有一个值,则直线的斜率不存时也符合; (2)三角形的面积用来表示,开口向下的二次函数在对称轴出取最大值,求出的值,得到直线的方程.