Question

4．直线y=$\frac{1}{2}$x+b能作为下列函数图象的切线吗，若能，求出切点坐标，若不能，请说明理由．
（1）f（x）=$\frac{1}{x}$；（2）f（x）=x⁴；（3）f（x）=sinx．

Answer 1

分析 先由直线方程求出直线的斜率，
（1）由求导公式和法则求出f′（x），由导数的几何意义列出方程，判断出方程是否有解，即可得到答案；
（2）由求导公式和法则求出f′（x），由导数的几何意义列出方程，判断出方程是否有解，即可得到答案；
（3）由求导公式和法则求出f′（x），由导数的几何意义列出方程，判断出方程是否有解，即可得到答案．

解答 解：直线y=$\frac{1}{2}$x+b的斜率k=$\frac{1}{2}$，
（1）由题意得，$f′（x）=-\frac{1}{{x}^{2}}$，
令$-\frac{1}{{x}^{2}}=\frac{1}{2}$，则方程无解，则切点不存在，
所以直线y=$\frac{1}{2}$x+b不能作为函数f（x）的切线；
（2）由题意得，f′（x）=4x³，
令$4{x}^{3}=\frac{1}{2}$，解得x=$\frac{1}{2}$，则切点的坐标是（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{16}$），则切点存在，
所以直线y=$\frac{1}{2}$x+b能作为函数f（x）的切线；
（3）由题意得，f′（x）=cosx，
令cosx=$\frac{1}{2}$，则方程有无数个解，则切点存在，
所以直线y=$\frac{1}{2}$x+b能作为函数f（x）的切线．

点评 本题主要考查导数的几何意义：在某点出的切线的斜率是该点处的导数值的应用，以及方程思想．