Question

设命题p：函数f（x）=lg（ax²-ax+

1

16

）的定义域R，命题q：不等式

3x+16

＜4+ax对一切正实数x均成立，如果命题p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：根据对数式真数的特点，一元二次不等式的解和判别式△的关系，以及通过观察法判断函数取值情况的方法即可求出命题p，q下a的取值范围，根据p∨q为真，p∧q为假得p真q假，或p假q真，求出这两种情况下a的取值范围再求并集即可．

解答： 解：由命题p知：不等式ax2-ax+

1

16

＞0的解集为R；
若a=0，

1

16

＞0，符合条件；
若a≠0，则：

a＞0 △=a2- 1 4 a＜0

，解得：
0＜a＜

1

4

；
∴命题p：0≤a＜

1

4

；
由命题q知：a＞

3x+16 -4

x

，对于任意正实数x恒成立；
∵

3x+16 -4

x

=

3x

( 3x+16 +4)x

=

3

3x+16 +4

，x＞0；
∴

3x+16

+4＞8，0＜

3

3x+16 +4

＜

3

8

；
∴a≥

3

8

；
即命题q：a≥

3

8

；
∴如果命题p∨q为真，p∧q为假，则p，q一真一假；
∴p真q假或p假q真；
即

0≤a＜ 1 4 a＜ 3 8

，或

a＜0，或a≥ 1 4 a≥ 3 8

，解得：
0≤a＜

1

4

，或a≥

3

8

；
∴实数a的取值范围为[0，

1

4

）∪[

3

8

，+∞）．

点评：考查对数函数的定义域，一元二次不等式的解的情况和判别式△的关系，以及观察的方法求函数值域，p∨q，p∧q真假和p，q真假的关系．