Question

已知双曲的中心在坐标原点，实轴在x轴上，其离心率e=

2

，已知点(2

5

，0)到双曲线上的点的最短距离为2

2

，求双曲线的方程．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：双曲线的其离心率e=

2

，故双曲线方程可设为x²-y²=λ²．在双曲线上任取一点（x，y）点(2

5

，0)到双曲线上的点的距离设为d，则d2=(x-2

5

)2+y2=2x2-4

5

x+20-λ2，d²在区间x＞λ或x＜-λ上的最小值为8，即可求双曲线的方程．

解答： 解：双曲线的其离心率e=

2

，故双曲线方程可设为x²-y²=λ²…．（2分）
在双曲线上任取一点（x，y）点(2

5

，0)到双曲线上的点的距离设为d
则d2=(x-2

5

)2+y2=2x2-4

5

x+20-λ2…（4分）
d²在区间x＞λ或x＜-λ上的最小值为8…（6分）
当λ≤

5

时，d2min=d2x=

5

=10-20+20-λ2=10-λ2=8，解得λ²=2；…．（8分）
当λ＞

5

时，d2min=d2x=λ=2λ2-4

5

λ+20-λ2=λ2-4

5

λ+20=8，
解得λ=2

5

+2

2

或λ =2

5

-2

2

（舍）即λ2=14+8

10

；…（10分）
综上：双曲线的方程为x²-y²=2或x2-y2=14+8

10

…（12分）

点评：本题考查求双曲线的方程，考查学生的计算能力，比较基础．