Question

12．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（$\frac{π}{4}$，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移$\frac{π}{2}$个单位长度后得到函数g（x）的图象．
（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；
（2）求证：存在x₀∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$），使得f（x₀），g（x₀），f（x₀）•g（x₀）能按照某种顺序成等差数列．

Answer 1

分析 （1）由周期公式可得ω，ω＞0，再由对称中心可得φ值，可得f（x）解析式，由函数图象变换和诱导公式化简可得；
（2）当x∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$）时sinx＞cos2x＞sinx•cos2x，问题转化为方程2cos2x=sinx+sinx•cos2x在（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$）内是否有解，由函数零点的存在性定理可得．

解答 解：（1）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）的周期为π，ω＞0，∴$ω=\frac{2π}{T}=2$，
又曲线y=f（x）的一个对称中心为（$\frac{π}{4}$，0），φ∈（0，π），
∴sin（2×$\frac{π}{4}$+φ）=0，可得$φ=\frac{π}{2}$，∴f（x）=cos2x，
将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，
再将y=cosx的图象向右平移$\frac{π}{2}$个单位长度后得到函数g（x）=cos（x-$\frac{π}{2}$）的图象，
由诱导公式化简可得g（x）=sinx；
（2）当x∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$）时，$\frac{1}{2}＜sinx＜\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$0＜cos2x＜\frac{1}{2}$，
∴sinx＞cos2x＞sinx•cos2x，
问题转化为方程2cos2x=sinx+sinx•cos2x在（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$）内是否有解．
设G（x）=sinx+sinx•cos2x-2cos2x，x∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$），
∵$G（\frac{π}{6}）=-\frac{1}{4}＜0$，$G（\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}＞0$，且函数G（x）的图象连续不断，
∴函数G（x）在（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$）内存在零点x₀，
即存在x₀∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$），使得f（x₀），g（x₀），f（x₀）•g（x₀）能按照某种顺序成等差数列．

点评 本题考查三角函数图象变换，问题转化为方程2cos2x=sinx+sinx•cos2x在（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$）内是否有解是解决问题的关键，属中档题．