Question

7．已知AD是△ABC中∠A的角平分线，且cos2A+5cosA=2，△ADC与△ADB的面积之比为1：2
（1）求sin∠A的值；
（2）求sin∠ADC的值．

Answer 1

分析 （1）根据二倍角公式求出cosA，从而求出sinA即可；（2）设CD=m，AC=n，由余弦定理求出m，n的关系，结合正弦定理求出∠ADC的正弦值即可．

解答 解：（1）△ABC中，∵cos2A=2cos²A-1，
∴由cos2A+5cosA=2得：cosA=$\frac{1}{2}$或cosA=-3（舍），
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）∵$\frac{{S}_{△ADC}}{{S}_{△ADB}}$=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
∵AD是△ABC中∠A的角平分线，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
设CD=m，AC=n，
由余弦定理得：CB²=AC²+AB²-2AC•AB•cos60°，
即得：n=$\sqrt{3}$m，
由正弦定理得：$\frac{CD}{sin∠CAD}$=$\frac{AC}{sin∠ADC}$，
∴sin∠ADC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查二倍角公式，是一道中档题．