Question

18．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且三角形的面积为S=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$accosB．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若c=8，点D在BC上，且CD=2，cos∠ADB=-$\frac{1}{7}$，求b的值．

Answer 1

分析 （I）由S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB=\frac{\sqrt{3}}{2}accosB$得出tanB=$\sqrt{3}$，故而B=$\frac{π}{3}$；
（II）在△ABD中使用正弦定理求出AD，在△ACD中使用余弦定理计算AC．

解答 解：（I）在△ABC中，∵S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB=\frac{\sqrt{3}}{2}accosB$，
∴tanB=$\sqrt{3}$．
∴B=$\frac{π}{3}$．
（II）∵cos∠ADB=-$\frac{1}{7}$，∴sin∠ADB=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，cos∠ADC=$\frac{1}{7}$．
在△ABD中，由正弦定理得$\frac{AD}{sinB}=\frac{AB}{sin∠ADB}$，即$\frac{AD}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{8}{\frac{4\sqrt{3}}{7}}$，
解得AD=7．
在△ACD中，由余弦定理得AC²=AD²+CD²-2AD•CDcos∠ADC=49+4-4=49，
∴AC=7．即b=7．

点评 本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，属于中档题．