Question

2．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且满足b=acosC+csinA．
（1）求A的大小；
（2）若cosB=$\frac{3}{5}$，BC=5，$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{7}\overrightarrow{BA}$，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式得出tanA；
（2）在△ABC中，使用正弦定理求出AB，得出DB，再在△BCD中使用余弦定理求出CD．

解答 解：（1）在△ABC中，∵b=acosC+csinA中，∴sinB=sinAcosC+sinCsinA，
又∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+sinCcosA，
∴sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sinCsinA，
∴cosAsinC=sinCsinA，
∵sinC≠0，∴cosA=sinA，
∴tanA=1．
∴$A=\frac{π}{4}$．
（2）∵cosB=$\frac{3}{5}$，∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{4}{5}$，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{3}{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{4}{5}=\frac{7\sqrt{2}}{10}$．
在△ABC中，由正弦定理得$\frac{AB}{sinC}=\frac{BC}{sinA}$，即$\frac{AB}{\frac{7\sqrt{2}}{10}}=\frac{5}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，
解得AB=7．
∵$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{7}\overrightarrow{BA}$，∴BD=$\frac{1}{7}AB=1$．
在△BCD中，由余弦定理得CD²=BD²+BC²-2BC•BDcosB=1+25-2×$5×1×\frac{3}{5}$=20．
∴CD=2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦定理，余弦定理，属于中档题．