Question

设函数f（x）在区间D上有定义，若对其中任意x₁，x₂（x₁≠x₂）恒有都有f（

x1+x2

2

）＜

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，则称f（x）是D上的“凹函数”，若f（x）=x|ax-4|（a≠0）在[2，3]上为“凹函数”，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：由f（x）=x|ax-4|（a≠0）在[2，3]上为“凹函数”可知f′（x）在[2，3]上单调递增，从而求解．

解答： 解：∵f（x）=x|ax-4|（a≠0）在[2，3]上为“凹函数”，
∴f′（x）在[2，3]上单调递增，
∴①若a≤

4

3

，
则f（x）=x（4-ax），
f′（x）=-2ax+4；
则-2a＞0，
故a＜0；
②若

4

3

＜a＜2，
则f（x）=x|ax-4|=

x(4-ax)，2≤x≤ 4 a x(ax-4)， 4 a ≤x≤3

；
f′（x）=-2ax+4已经不能单调递增，故不成立；
③当a≥2时，
f（x）=x（ax-4），f′（x）=2ax-4；
故2a＞0，
解得a≥2；
故a≥2或a＜0．
故答案为：a≥2或a＜0．

点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了学生对新定义的接受能力，属于难题．