Question

已知f（x）=cos²（x+

π

12

）+sinxcosx，求：
（1）f（x）的最值；
（2）f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）化简可得解析式f（x）=

1

2

sin（2x+

π

3

）+

1

2

，由-1≤sin（2x+

π

3

）≤1可解得f（x）的最值；
（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，可解得f（x）的单调递增区间．

解答： 解：（1）∵f（x）=cos²（x+

π

12

）+sinxcosx=

1+cos(2x+ π 6 )

2

+

1

2

sin2x=

1

2

+

3

4

cos2x-

1

4

sin2x+

1

2

sin2x=

1

2

+

3

4

cos2x+

1

4

sin2x=

1

2

sin（2x+

π

3

）+

1

2

∵-1≤sin（2x+

π

3

）≤1
∴0≤

1

2

sin（2x+

π

3

）+

1

2

≤1，即f（x）_max=1，f（x）_min=0．
（2）∵令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，可解得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．