Question

已知集合A={x|x²+2x-3＞0}，集合B={x|x²-ax-1≤0，a＞0}，若A∩B恰有一个整数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：交集及其运算

专题：集合

分析：由x²+2x-3＞0，解得A=（-∞，-3）∪（1，+∞）．对于集合B：x²-ax-1≤0，a＞0，可得△＞0，解得B=[

a- a2+4

2

，

a+ a2+4

2

]．由于A∩B恰有一个整数，a＞0．可得

a- a2+4 2 ＞-4 a+ a2+4 2 ＜3

或

a- a2+4 2 ＞-5 a+ a2+4 2 ＜2

，解出即可．

解答： 解：由x²+2x-3＞0，解得x＞1或x＜-3，
∴A=（-∞，-3）∪（1，+∞）．
对于集合B：x²-ax-1≤0，a＞0，
可得△＞0，
解得

a- a2+4

2

≤x≤

a+ a2+4

2

．
∴B=[

a- a2+4

2

，

a+ a2+4

2

]．
∵A∩B恰有一个整数，a＞0．
∴

a- a2+4 2 ＞-4 a+ a2+4 2 ＜3

或

a- a2+4 2 ＞-5 a+ a2+4 2 ＜2

，
解得0＜a＜

8

3

或0＜a＜

3

2

．
∴实数a的取值范围是(0，

8

3

)．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法、交集运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．