Question

7．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则角B的最大值为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 a，b，c成等比数列，可得b²=ac．由cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，又A∈（0，π），即可得出．

解答 解：∵a，b，c成等比数列，∴b²=ac．
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，当且仅当a=c=b时取等号，
又A∈（0，π），
∴0＜$A≤\frac{π}{3}$．
∴B的最大值为：$\frac{π}{3}$．
故答案为：$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查了余弦定理、三角函数的单调性与值域、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．