Question

10．数列{$\frac{1}{n（n+2）}$}的前n项的和记为S_n，则S_n=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

Answer 1

分析 $\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：∵$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴数列{$\frac{1}{n（n+2）}$}的前n项的和记为S_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．
故答案为：=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查了“裂项求和法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．