Question

2．已知在${（\frac{a}{x}-\sqrt{x}）^6}（a＞0）$的展开式中，常数项为60．
（1）求a；
（2）求含${x^{\frac{3}{2}}}$的项的系数；
（3）求展开式中所有的有理项．
（4）求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．

Answer 1

分析 （1）利用二项式定理的通项公式，通过x的指数为0，求出常数项，然后解出a的值．
（2）利用二项式定理写出含${x^{\frac{3}{2}}}$的项求r的值，然后求含${x^{\frac{3}{2}}}$的项的系数；
（3）先求得展开式的通项公式，在通项公式中令x的幂指数为有理数，求得r的值，即可求得展开式中有理项．
（4）写出二项式的二项式系数，根据二项式系数的性质得到结果．

解答 解：（1）${（\frac{a}{x}-\sqrt{x}）^6}（a＞0）$的展开式中T_r+1=${C}_{6}^{r}$（$\frac{a}{x}$）^6-r（-$\sqrt{x}$）^r=（-1）^ra^6-r ${C}_{6}^{r}$x^6-$\frac{3r}{2}$；
$\frac{3r}{2}$-6=0⇒r=4．
∴二项式${（\frac{a}{x}-\sqrt{x}）^6}（a＞0）$的展开式中的常数项为：（-1）⁴a^6-4•${C}_{6}^{4}$=15a²=60．
∴a=±2
∵a＞0，
∴a=2．
（2）T_r+1=${C}_{6}^{r}$•（$\frac{a}{x}$）^6-r•（-$\sqrt{x}$）^r═（-1）^ra^6-r．${C}_{6}^{r}$•x${\;}^{6-\frac{r}{2}}$．
依题意得$\frac{3r}{2}$-6=$\frac{3}{2}$，
则r=5．
故（-1）⁵×2×${C}_{6}^{5}$=-12为所求的项的系数；
（3）设第k+1项为有理项，则T_k+1=C₆^k•a^6-k•x^k-6•（-x）${\;}^{\frac{k}{2}}$．
∵0≤k≤6，要使k-6+$\frac{k}{2}$∈Z，只有使k分别取4，6．
∴所求的有理项应为：T₅=120，T₇=-2x³．
（4）展开式中二项式系数最大的项是第4项：${C}_{6}^{3}$$（\frac{2}{x}）$³•$（-\sqrt{x}）$³=-960x${\;}^{-\frac{3}{2}}$．
二项式的展开式的系数最大的项为第r项，
所以$\left\{\begin{array}{l}{{T}_{r+1}≥{T}_{r}}\\{{T}_{r+1}≥{T}_{r+2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{6}^{r}{2}^{6-r}（-1）^{r}{≥C}_{6}^{r-1}{2}^{7-r}（-1）^{r-1}}\\{{C}_{6}^{r}{2}^{6-r}（-1）^{r}≥{C}_{6}^{r+1}{2}^{8-r}（-1）^{r+1}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{r≤5}\\{r≥4}\end{array}\right.$，
所以r=4或5，
所以展开式中系数最大的项是第4项或第5项．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．