Question

3．已知各项均不相等的等差数列{a_n}的前四项和S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n为数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和，若T_n≤λa_n+1对一切n∈N^*恒成立，求实数λ的最小值．

Answer 1

分析 （1）通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{4{a}_{1}+6d=14}\\{（{a}_{1}+2d）^{2}={a}_{1}•（{a}_{1}+6d）}\end{array}\right.$，进而计算可得结论；
（2）通过（1）、裂项可知$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，进而并项相加可知T_n=$\frac{n}{2（n+2）}$，通过变形可知问题转化为求$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{4+（n+\frac{4}{n}）}$的最大值，进而计算可得结论．

解答 解：（1）由题意，$\left\{\begin{array}{l}{4{a}_{1}+6d=14}\\{（{a}_{1}+2d）^{2}={a}_{1}•（{a}_{1}+6d）}\end{array}\right.$，
解得：a₁=2，d=1，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=a₁+（n-1）d=n+1；
（2）由（1）知：a_n=n+1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
∴T_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{n}{2（n+2）}$，
∵T_n≤λa_n+1对一切n∈N^*恒成立，
∴λ≥$\frac{{T}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{\frac{n}{2（n+2）}}{n+2}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{4+（n+\frac{4}{n}）}$对一切n∈N^*恒成立，
又∵n+$\frac{4}{n}$≥2$\sqrt{n•\frac{4}{n}}$=4，当且仅当n=$\frac{4}{n}$即n=2时取等号，
∴$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{4+（n+\frac{4}{n}）}$≤$\frac{1}{2}•\frac{1}{4+4}$=$\frac{1}{16}$，
∴实数λ的最小值为$\frac{1}{16}$．

点评 本题考查的数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．