Question

6．已知椭圆W：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），椭圆短轴长为2，且椭圆过点P（1，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}}$），
1）求椭圆的方程；
2）直线l与椭圆W相交于A，B点，请问在椭圆W上是否存在点C，四边形AOBC为矩形，若存在，请求出矩形AOBC的面积，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由2b=2，可得b=1．又椭圆过点$P（{1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，可得 $\frac{1}{a^2}+\frac{{\frac{3}{4}}}{b^2}=1$，联立解出即可得出．
（2）存在四边形为ABCD矩形．①AB斜率不存在时，显然对角线不等，故不符合题意；
②AB斜率存在时，假设存在四边形OABC为矩形，设AB直线方程为：y=kx+m，与椭圆联立消去y得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，△＞0，四边形OABC为矩形．由OA⊥OB，即$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，利用数量积运算性质及其根与系数的关系可得：5m²-4k²-4=0；又四边形OABC为矩形，$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$，利用根与系数的关系、向量坐标运算即可得出．

解答 解：（1）∵2b=2，∴b=1．
∵椭圆过点$P（{1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，∴$\frac{1}{a^2}+\frac{{\frac{3}{4}}}{b^2}=1$，
解得：a²=4，
∴椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（2）存在四边形为ABCD矩形．
①AB斜率不存在时，显然对角线不等，故不符合题意；
②AB斜率存在时，假设存在四边形OABC为矩形，
设AB直线方程为：y=kx+m，联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\{x^2}+4{y^2}=4\end{array}\right.$，消去y得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
△=16（4k²-m²+1）＞0，即：4k²+1＞m²，①
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{1+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$，
∵四边形OABC为矩形，
∵OA⊥OB，即$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
化为：$（{1+{k^2}}）{x_1}{x_2}+km（{{x_1}+{x_2}}）+{m^2}=0$，
代入可得：$（{1+{k^2}}）\frac{{4{m^2}-4}}{{1+4{k^2}}}+km•\frac{-8km}{{1+4{k^2}}}+{m^2}=0$，
整理得：5m²-4k²-4=0  ②
由①②得  ${m^2}＞\frac{3}{4}$  ③
又∵四边形OABC为矩形，故$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$，
设C（x₀，y₀），则$\left\{\begin{array}{l}{x_0}={x_1}+{x_2}\\{y_0}={y_1}+{y_2}=k（{{x_1}+{x_2}}）+2m\end{array}\right.$，
∴$C（{-\frac{8km}{{1+4{k^2}}}，\frac{2m}{{1+4{k^2}}}}）$，
∵C在椭圆上，∴$\frac{{16{k^2}{m^2}}}{{{{（{1+4{k^2}}）}^2}}}+\frac{{4{m^2}}}{{{{（{1+4{k^2}}）}^2}}}=1$，
即$\frac{{4{m^2}}}{{1+4{k^2}}}=1$，故4m²=1+4k²，④
结合②④，解得$\left\{\begin{array}{l}{m^2}=3\\{k^2}=\frac{11}{4}\end{array}\right.$，符合题意．
$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}\frac{{4\sqrt{4{k^2}+1-{m^2}}}}{{1+4{k^2}}}$，而O到AB距离：$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
${S_{矩形AOBC}}=d•|{AB}|=\frac{{4|m|\sqrt{4{k^2}+1-{m^2}}}}{{1+4{k^2}}}=\frac{{4\sqrt{3}\sqrt{9}}}{12}=\sqrt{3}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质、弦长公式、矩形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．