Question

13．数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，a_n+2=2a_n+1-a_n+2
（1）设b_n=a_n+1-a_n，证明{b_n}等差数列
（2）{a_n}通项公式
（3）求{$\frac{{a}_{n}-{n}^{2}}{3n}$}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）把已知数列递推式变形，可得（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2，即b_n+1-b_n=2，由此可得{b_n}等差数列；
（2）由（1）中的等差数列求得{b_n}的通项公式，再由累加法求{a_n}通项公式；
（3）把{a_n}通项公式代入数列{$\frac{{a}_{n}-{n}^{2}}{{3}^{n}}$}，再由错位相减法求其前n项和．

解答 （1）证明：由a_n+2=2a_n+1-a_n+2，
得（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2，
即b_n+1-b_n=2，
又b₁=a₂-a₁=2-1=1，
∴数列{b_n}是以1为首项，以2为公差的等差数列；
（2）解：由（1）得b_n=1+2（n-1）=2n-1，
∴a_n+1-a_n=2n-1，
则a₂-a₁=2×1-1，a₃-a₂=2×2-1，…，a_n-a_n-1=2（n-1）-1（n≥2），
累加得：a_n-a₁=2[1+2+…+（n-1）]-（n-1）=$2×\frac{n（n-1）}{2}-（n-1）=（n-1）^{2}$，
∴${a}_{n}=（n-1）^{2}+1$（n≥2），
已知n=1时上式成立，
∴${a}_{n}=（n-1）^{2}+1$；
（3）解：$\frac{{a}_{n}-{n}^{2}}{{3}^{n}}=\frac{{n}^{2}-2n+2-{n}^{2}}{{3}^{n}}=\frac{-2n+2}{{3}^{n}}$，
设数列{$\frac{{a}_{n}-{n}^{2}}{{3}^{n}}$}的前n项和为T_n，
则${T}_{n}=\frac{0}{{3}^{1}}+\frac{-2}{{3}^{2}}+\frac{-4}{{3}^{3}}+…+\frac{-2n+2}{{3}^{n}}$，
∴$\frac{1}{3}{T}_{n}=\frac{0}{{3}^{2}}+\frac{-2}{{3}^{3}}+…+\frac{-2n+4}{{3}^{n}}+\frac{-2n+2}{{3}^{n+1}}$，
∴$\frac{2}{3}{T}_{n}=\frac{-2}{{3}^{2}}+\frac{-2}{{3}^{3}}+…+\frac{-2}{{3}^{n}}-\frac{-2n+2}{{3}^{n+1}}$=$-2•\frac{\frac{1}{9}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}-\frac{-2n+2}{{3}^{n+1}}$=$\frac{1}{{3}^{n}}-\frac{1}{3}-\frac{-2n+2}{{3}^{n+1}}$，
∴${T}_{n}=\frac{2n+1}{2•{3}^{n}}-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了累加法求数列的前n项和，考查错位相减法求数列的和，是中档题．