Question

3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC．
（1）若cosB=$\frac{3}{5}$，求cos（A+B）的值；
（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由（a+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC．利用正弦定理可得：（a+b）（a-b）=（c-b）c，化为：b²+c²-a²=bc，再利用余弦定理可得A．利用同角三角函数基本关系式、和差公式可得cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB．
（2）由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，利用基本不等式的性质可得4≥2bc-bc=bc，当且仅当b=c=2时取等号．即可得出．

解答 解：（1）在△ABC中，∵（a+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC．
∴（a+b）（a-b）=（c-b）c，化为：b²+c²-a²=bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{3}$．
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵cosB=$\frac{3}{5}$，B∈（0，π），∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{4}{5}$．
∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=$\frac{1}{2}×\frac{3}{5}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{4}{5}$=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$．
（2）由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴4≥2bc-bc=bc，当且仅当b=c=2时取等号．
∴△ABC面积的最大值=$\frac{1}{2}×4$×$sin\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式、和差公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．