Question

13．如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b（sinC+cosC）．
（Ⅰ）求∠ABC；
（Ⅱ）若∠A=$\frac{π}{2}$，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得cosBsinC=sinBsinC，结合sinC≠0，可求tanB=1，结合范围B∈（0，π），即可求得B的值．
（Ⅱ）由已知利用余弦定理可得BC²=1²+2²-2×1×2×cosD=5-4cosD，由已知及（Ⅰ）可知$∠ABC=\frac{π}{4}$，利用三角形面积公式可求S_△ABC，S_△BDC，从而可求${S_{四边形ABDC}}=\frac{5}{4}+\sqrt{2}sin（D-\frac{π}{4}）$，根据正弦函数的性质即可得解四边形ABDC面积的最大值．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a=b（sinC+cosC），
∴sinA=sinB（sinC+cosC），…（1分）
∴sin（π-B-C）=sinB（sinC+cosC），
∴sin（B+C）=sinB（sinC+cosC），…（2分）
∴sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC+sinBcosC，…（3分）
∴cosBsinC=sinBsinC，
又∵C∈（0，π），故sinC≠0，…（4分）
∴cosB=sinB，即tanB=1．    …（5分）
又∵B∈（0，π），
∴$B=\frac{π}{4}$．  …（6分）
（Ⅱ）在△BCD中，DB=2，DC=1，
∴BC²=1²+2²-2×1×2×cosD=5-4cosD． …（7分）
又$A=\frac{π}{2}$，由（Ⅰ）可知$∠ABC=\frac{π}{4}$，
∴△ABC为等腰直角三角形，…（8分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×BC×\frac{1}{2}×BC=\frac{1}{4}B{C^2}=\frac{5}{4}-cosD$，…（9分）
又∵${S_{△BDC}}=\frac{1}{2}×BD×DC×sinD=sinD$，…（10分）
∴${S_{四边形ABDC}}=\frac{5}{4}-cosD+sinD=\frac{5}{4}+\sqrt{2}sin（D-\frac{π}{4}）$．    …（11分）
∴当$D=\frac{3π}{4}$时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为$\frac{5}{4}+\sqrt{2}$．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识的应用，考查了运算求解能力，考查了化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题．