Question

1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a+b）（sinA-sinB）=c（sinA-sinC）．
（1）求角B的大小；
（2）设BC中点为D，且AD=$\sqrt{3}$，求a+2c的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知等式可得a²+c²-b²=ac，由余弦定理可求cosB=$\frac{1}{2}$，结合范围B∈（0，π），即可求B的值．
（2）设∠BAD=θ，则$θ∈（{0，\frac{2π}{3}}）$，由正弦定理可得BD=2sinθ，$AB=2sin（{\frac{2π}{3}-θ}）=\sqrt{3}cosθ+sinθ$，利用三角函数恒等变换的应用可得：$a+2c=2\sqrt{3}cosθ+6sinθ=4\sqrt{3}sin（{θ+\frac{π}{6}}）$，由$θ∈（{0，\frac{2π}{3}}）$，可求$θ+\frac{π}{6}∈（{\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}）$，利用正弦函数的性质即可得解最大值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）在△ABC中，∵（a+b）（sinA-sinB）=c（sinA-sinC）
∴由正弦定理可得：（a+b）（a-b）=c（a-c），
即a²+c²-b²=ac，…（2分）
由余弦定理可知$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{1}{2}$，…（4分）
∵B∈（0，π），
∴$B=\frac{π}{3}$…（5分）
（2）∵设∠BAD=θ，则在△ABD中，
由$B=\frac{π}{3}$可知$θ∈（{0，\frac{2π}{3}}）$，
由正弦定理及$AD=\sqrt{3}$可得$\frac{BD}{sinθ}=\frac{AB}{{sin（{\frac{2π}{3}-θ}）}}=\frac{AD}{{sin\frac{π}{3}}}=2$，…（7分）
∴BD=2sinθ，$AB=2sin（{\frac{2π}{3}-θ}）=\sqrt{3}cosθ+sinθ$，…（8分）
∴$a+2c=2\sqrt{3}cosθ+6sinθ=4\sqrt{3}sin（{θ+\frac{π}{6}}）$，…（10分）
由$θ∈（{0，\frac{2π}{3}}）$可知$θ+\frac{π}{6}∈（{\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}）$，
∴当$θ+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$θ=\frac{π}{3}$时，a+2c的最大值为$4\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想、数形结合思想，属于中档题．