Question

12．已知函数f（x）=ae^xx-2ae^x-$\frac{1}{2}$x²+x．
（1）求函数f（x）在（2，f（2））处切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程；
（2）求出f（x）的导数f′（x）=（x-1）（ae^x-1），对a讨论，分a≤0时，a=$\frac{1}{e}$时，a＞$\frac{1}{e}$时，0＜a＜$\frac{1}{e}$时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0可得减区间．

解答 解：（1）函数f（x）=ae^xx-2ae^x-$\frac{1}{2}$x²+x的导数为
f′（x）=a（e^x+xe^x）-2ae^x-x+1=（x-1）（ae^x-1），
可得f（x）在（2，f（2））处切线斜率为ae²-1，切点为（2，0），
即有切线的方程为y-0=（ae²-1）（x-2），即为y=（ae²-1）（x-2）；
（2）由f（x）的导数为f′（x）=（x-1）（ae^x-1），
①当a=0时，f′（x）=-（x-1），当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；
②当a＜0时，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；
③当a＞0时，若a=$\frac{1}{e}$，则f′（x）=（x-1）（e^x-1-1），
f（x）在R上递增；
若a＞$\frac{1}{e}$，则f′（x）＞0即为（x-1）（x-ln$\frac{1}{a}$）＞0，可得x＞1或x＜ln$\frac{1}{a}$；
f′（x）＜0即为（x-1）（x-ln$\frac{1}{a}$）＜0，可得ln$\frac{1}{a}$＜x＜1；
若0＜a＜$\frac{1}{e}$，则f′（x）＞0即为（x-1）（x-ln$\frac{1}{a}$）＞0，可得x＜1或x＞ln$\frac{1}{a}$；
f′（x）＜0即为（x-1）（x-ln$\frac{1}{a}$）＜0，可得1＜x＜ln$\frac{1}{a}$．
综上可得，a≤0时，f（x）的增区间为（-∞，1），减区间为（1，+∞）；
a=$\frac{1}{e}$时，f（x）的增区间为R；
a＞$\frac{1}{e}$时，f（x）的增区间为（1，+∞），（-∞，ln$\frac{1}{a}$），
减区间为（ln$\frac{1}{a}$，1）；
0＜a＜$\frac{1}{e}$时，f（x）的增区间为（ln$\frac{1}{a}$，+∞），（-∞，1），减区间为（1，ln$\frac{1}{a}$）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，注意运用分类讨论的思想方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．