Question

4．某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t（0≤t≤24），单位：小时）的函数，记为y=f（x），下表是某日各时的浪高数据：经长期观察，y=f（t）的曲线可以近似地看出是函数y=Acos（ωt）+k（A＞0）的曲线．
（1）求函数y=Acos（ωt）+k（A＞0）的解析式；
（2）浴场规定：当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，根据以上数据，当天上午8：00时至晚上20：00时之间可供冲浪爱好者冲浪的时间约为多少时？

t时	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y米	1.5	1.0	0.5	0.98	1.5	1.01	0.5	0.99	1.5

Answer 1

分析 （1）由已知条件，得：$\left\{\begin{array}{l}{A+k=1.5}\\{-A+k=0.5}\end{array}\right.$，由此求出A，k，T，从而求出ω，进而求出函数y=Acos（ωt）+k（A＞0）的解析式．
（2）由题意得：y=$\frac{1}{2}cos（\frac{π}{6}t）+1＞1$，从而得到12k-3＜t＜12k+3，k∈Z，由此能求出当天上午8：00时至晚上20：00时之间可供冲浪爱好者冲浪的时间约为6小时．

解答 解：（1）由已知条件，得：$\left\{\begin{array}{l}{A+k=1.5}\\{-A+k=0.5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{A=\frac{1}{2}}\\{k=1}\end{array}\right.$，
由表知T=12，
∴ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{π}{6}$，
∴y=$\frac{1}{2}cos（\frac{π}{6}t）+1$．
（2）由题意得：y=$\frac{1}{2}cos（\frac{π}{6}t）+1＞1$，
∴cos（$\frac{π}{6}t$）＞0，
2kπ-$\frac{π}{2}$＜$\frac{π}{6}t$＜2kπ+$\frac{π}{2}$，
12k-3＜t＜12k+3，k∈Z，
当k=0时，-3＜t＜3，
当k=1时，9＜t＜15，
当k=2时，21＜t＜27，
∵t在（8，20）之间，
∴9＜t＜15，共约6小时，
∴当天上午8：00时至晚上20：00时之间可供冲浪爱好者冲浪的时间约为6小时．

点评 本题考查三角函数的解析式的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦函数及图象和性质的合理运用．