Question

10．设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则$\frac{1}{1-a}$∈A，且1∉A
（1）若3∈A，求A；
（2）证明：若a∈A，则1-$\frac{1}{a}$∈A；
（3）A能否只有一个元素，若能，求出集合A，若不能，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据集合A的定义，找出A的所有元素即可；
（2）有集合A的定义证明即可；
（3）假设A只有一个元素，然后转化为一元二次方程解的问题．

解答 ．解：（1）∵3∈A，∴$\frac{1}{1-3}=-\frac{1}{2}∈A$，
∴$\frac{1}{{1-（-\frac{1}{2}）}}=\frac{2}{3}∈A$，
∴$\frac{1}{{1-\frac{2}{3}}}=3∈A$
∴$A=\left\{{3，-\frac{1}{2}，\frac{2}{3}}\right\}$
（2）∵a∈A，
∴$\frac{1}{1-a}∈A$，
∴$\frac{1}{{1-\frac{1}{1-a}}}=\frac{1-a}{-a}=1-\frac{1}{a}∈A$
（3）假设集合A只有一个元素，记A={a}，则$a=\frac{1}{1-a}$
即a²-a+1=0有且只有一个解，
又因为△=（-1）²-4=-3＜0
∴a²-a+1=0无实数解．
与a²-a+1=0有且只有一个实数解解矛盾．
所以假设不成立．即集合A不能只有一个元素．

点评 本题是新概念的题目，考查了元素与集合的关系的判断与应用，属于中档题