Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（cosx，cos（2x+$\frac{π}{6}$）），函数f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）在y轴右侧的极大值点从小到大构成数列{a_n}，试求数列{$\frac{{π}^{2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用数量积运算性质可得：f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=sinxcosx-$\frac{1}{2}$$cos（2x+\frac{π}{6}）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$$sin（2x-\frac{π}{6}）$，再利用正弦函数的单调性即可得出．
（2）由（1）可得：f（x）取得极大值时，2x-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，解得x=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z．可得：a_n=$\frac{π}{3}$+（n-1）π=$\frac{3n-2}{3}π$．n∈N^*．于是$\frac{{π}^{2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{9}{（3n-2）（3n+1）}$=3$（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$．再利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=sinxcosx-$\frac{1}{2}$$cos（2x+\frac{π}{6}）$=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}（\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x-\frac{1}{2}sin2x）$=$\frac{3}{4}sin2x-\frac{\sqrt{3}}{4}$cos2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$$sin（2x-\frac{π}{6}）$，
由$-\frac{π}{2}$+2kπ≤2x$-\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得$kπ-\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间为[$kπ-\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$+kπ]，k∈Z．
（2）由（1）可得：f（x）取得极大值时，2x-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，解得x=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z．
∴a₁=$\frac{π}{3}$，a₂=$\frac{π}{3}$+π，…，a_n=$\frac{π}{3}$+（n-1）π=$\frac{3n-2}{3}π$．n∈N^*．
∴$\frac{{π}^{2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{9}{（3n-2）（3n+1）}$=3$（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$．
∴数列{$\frac{{π}^{2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和T_n=3$[（1-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）]$=3$（1-\frac{1}{3n+1}）$=$\frac{9n}{3n+1}$．

点评 本题考查了数量积运算性质、正弦函数的单调性、倍角公式、和差化积、三角函数的图象与性质、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．