Question

8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin$\frac{B}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=6．
（1）求△ABC的面积；
（2）若c=2，求b的值．

Answer 1

分析 （1）由sin$\frac{B}{2}$求出sinB，得到cosB，结合已知向量等式求得ac，则△ABC的面积可求；
（2）由c=2及（1）中求得的ac值可得a，然后利用余弦定理求得b的值．

解答 解：（1）在△ABC中，由sin$\frac{B}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，得cos$\frac{B}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sinB=2sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$=2×$\frac{\sqrt{5}}{5}×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{4}{5}$，
由$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=6，得ac•cosB=6，可知cosB＞0，
又sinB=$\frac{4}{5}$，知cosB=$\frac{3}{5}$，
∴$ac=\frac{6}{\frac{3}{5}}=10$，则${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}ac•sinB=\frac{1}{2}×10×\frac{4}{5}=4$；
（2）c=2，则a=5，
∴$b=\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}-2ac•cosB}=\sqrt{25+4-2×5×2×\frac{3}{5}}$=$\sqrt{17}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角形的解法，训练了正弦定理和余弦定理在解三角形中的运用，是中档题．