Question

17．已知函数f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$+x²-x（其中e=2.71828…）．
（Ⅰ）求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数g（x）=ln[f（x）-x²+x]-b的两个零点为x₁，x₂，证明：$\frac{1}{2}$[g′（x₁）+g′（x₂）]＞g′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，求得而且像的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程；
（Ⅱ）求出g（x）的解析式，求出导数，可得单调区间和极值、最值，可得零点的范围，原不等式可化为$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{x}_{1}}$-1+$\frac{1}{{x}_{2}}$-1）＞$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$-1，化简整理，再由基本不等式即可得证．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$+x²-x的导数为f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$+2x-1，
f（x）在（1，f（1））处的切线斜率为k=f′（1）=1，切点为（1，$\frac{1}{e}$），
可得f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y-$\frac{1}{e}$=x-1，
即为y=x-1+$\frac{1}{e}$；
（Ⅱ）证明：函数g（x）=ln[f（x）-x²+x]-b=ln$\frac{x}{{e}^{x}}$-b=lnx-x-b，
g′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）递减；
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）递增．
可得g（x）在x=1处取得极大值，且为最大值-1-b，
设0＜x₁＜1，x₂＞1，则$\frac{1}{2}$[g′（x₁）+g′（x₂）]＞g′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$），
即为$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{x}_{1}}$-1+$\frac{1}{{x}_{2}}$-1）＞$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$-1，
即$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$＞$\frac{4}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，即有（x₁+x₂）（$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$）＞4，
由x₁+x₂＞2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$，$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$＞2$\sqrt{\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}}$，
可得（x₁+x₂）（$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$）＞4，
故原不等式成立．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查不等式的证明，注意运用分析法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．