Question

8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$cos$\frac{A}{2}$，sin$\frac{A}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（-cos$\frac{B}{2}$，$\sqrt{3}$sin$\frac{B}{2}$），且满足$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅱ）求角C的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$，且a-b=2，求边c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用平面向量的数量积，结合三角恒等变换，三角形内角和定理，求出sin$\frac{C}{2}$的值，即得角C的值；
（Ⅱ）利用正弦、余弦公式，结合题意，即可求出边长c的大小．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$cos$\frac{A}{2}$，sin$\frac{A}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（-cos$\frac{B}{2}$，$\sqrt{3}$sin$\frac{B}{2}$），且满足$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴$\sqrt{3}$cos$\frac{A}{2}$•（-cos$\frac{B}{2}$）+sin$\frac{A}{2}$•$\sqrt{3}$sin$\frac{B}{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即cos$\frac{A}{2}$•cos$\frac{B}{2}$-sin$\frac{A}{2}$sin$\frac{B}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴cos$\frac{A+B}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴sin（$\frac{π}{2}$-$\frac{A+B}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
即sin$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{2}$；
又$\frac{C}{2}$∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴$\frac{C}{2}$=$\frac{π}{6}$，
∴C=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）∵△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
即$\frac{1}{2}$absin60°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴ab=1；
又a-b=2，
∴c²=a²+b²-2abcosC
=a²+b²-2abcos60°
=（a-b）²-3ab
=2²-3×1=1，
∴c=1．

点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理及应用，同时考查了平面向量的数量积以及三角恒等变换的应用问题，是综合性题目．