Question

3．已知f（x）=m+log_ax（a＞0，a≠1）的图象过点（8，2）、（1，-1）
（1）求 f（x）的解析式．
（2）令g（x）=f（x²）-f（x-1），求g（x）的最小值及取得最小值时x的值．

Answer 1

分析 （1）利用对数函数经过的特殊点，求出函数的解析式．
（2）化简函数的解析式，构造新函数，利用基本不等式求解函数的最小值即可．

解答 解：（1）f（x）=m+log_a^x（a＞0，a≠1）的图象过点（8，2）、得2=m+log_a8，…①
f（x）=m+log_a^x（a＞0，a≠1）的图象过点（1，-1），-1=m+log_a1…②
解得m=-1，a=2．
∴f（x）=-1+log₂x．
（2）g（x）=-1+log₂x²+1-log₂（x-1）=log₂$\frac{{x}^{2}}{x-1}$，
令h（x）=$\frac{{x}^{2}}{x-1}$=（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+2≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{1}{x-1}}$+2=4，所以当且仅当x-1=$\frac{1}{x-1}$，
即x=2时，g（x）_min=log₂4=2．

点评 本题考查的知识点是函数解析式的求法，函数的单调性，函数的最值以及基本不等式求解最值的应用，难度中档．