【题目】已知函数.
(Ⅰ)若函数在区间(其中)上存在极值,求实数的取值范围.
(Ⅱ)如果当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
(Ⅲ)求证.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)见解析
【解析】试题分析:(Ⅰ)求出函数的极值,在探讨函数在区间(其中a>0)上存在极值,寻找关于a的不等式,求出
实数a的取值范围;(Ⅱ)如果当x≥1时,不等式恒成立,把k分离出来,转化为求函数最值.(Ⅲ)借助于(Ⅱ)的结论得令,则有,∴,累加,放缩即可证得结论.
证明不等式.
试题解析:
(Ⅰ),∴时, ,此时单调递增;
当时, ,此时单调递减.
又,∴在处取得极大值,
∵若使得在区间上存在极值,其中,∴,
∴.∴的取值范围为.
(Ⅱ)不等式,
即恒成立,令,∴,
令,∴,∵,∴,∴在上单调递增,
∴,∴, 在上也单调增,
∴,∴.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知: 恒成立,即,令,则有,∴,∴,
;
;
,
叠加得: ,
∴,
∴,
∴,得证.
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【题目】设函数f(x)=(ex﹣1)(x﹣1)k , k∈N* , 若函数y=f(x)在x=1处取到极小值,则k的最小值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【题目】某企业节能降耗技术改造后,在生产某产品过程中几录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几 组对应数据如表所示:
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | a |
若根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为 =0.7x+0.35,则表中a的值为( )
A.3
B.3.15
C.3.5
D.4.5
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【题目】已知曲线C1的极坐标方程为ρcos(θ﹣ )=﹣1,曲线C2的极坐标方程为ρ=2 cos(θ﹣ ).以极点为坐标原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系.
(1)求曲线C2的直角坐标方程;
(2)求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值.
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【题目】已知奇函数f(x)是定义在(﹣2,2)上的减函数,则不等式f( )+f(2x﹣1)>0的解集是( )
A.(﹣∞, )
B.[﹣ ,+∞)
C.(﹣6,﹣ )
D.(﹣ , )
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【题目】已知函数f(x)= ax2﹣(a﹣1)x﹣lnx(a∈R且a≠0).
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)记函数y=F(x)的图象为曲线C.设点A(x1 , y1),B(x2 , y2)是曲线C上的不同两点.如果在曲线C上存在点M(x0 , y0),使得:①x0= ;②曲线C在点M处的切线平行于直线AB,则称函数F(x)存在“中值和谐切线”.当a=2时,函数f(x)是否存在“中值和谐切线”,请说明理由.
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【题目】已知点A(0,2),B(4,6), =t1 +t2 ,其中t1、t2为实数;
(1)若点M在第二或第三象限,且t1=2,求t2的取值范围;
(2)求证:当t1=1时,不论t2为何值,A、B、M三点共线;
(3)若t1=a2 , ⊥ ,且△ABM的面积为12,求a和t2的值.
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