Question

9．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，∠ACB=90°，BB₁=3，AC=BC=2，D，E分别为AB，BC的中点，F为BB₁上一点，且$\frac{BF}{F{B}_{1}}$=$\frac{2}{7}$．
（1）求证：平面CDF⊥平面A₁C₁E；
（2）求二面角C₁-CD-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以C为原点，分别以CA、CB、CC₁所在直线为x、y、z轴正半轴建立空间直角坐标系，再由已知求出C，D，F，E，A₁，C₁的坐标，得到平面CDF与平面A₁C₁E的一个法向量，由两法向量垂直可得平面CDF⊥平面A₁C₁E；
（2）由（1）知，平面CDF的一个法向量$\overrightarrow{m}=（1，-1，3）$，又平面C₁CD的一个法向量$\overrightarrow{t}=（-1，1，0）$，由两法向量所成角的余弦值求得二面角C₁-CD-F的大小．

解答 （1）证明：以C为原点，分别以CA、CB、CC₁所在直线为x、y、z轴正半轴建立空间直角坐标系，
∵BB₁=3，AC=BC=2，D，E分别为AB，BC的中点，$\frac{BF}{F{B}_{1}}$=$\frac{2}{7}$．
∴C（0，0，0），D（1，1，0），F（0，2，$\frac{2}{3}$），E（0，1，0），A₁（2，0，3），C₁（0，0，3）．
$\overrightarrow{CD}=（1，1，0）$，$\overrightarrow{CF}=（0，2，\frac{2}{3}）$，$\overrightarrow{E{A}_{1}}=（2，-1，3），\overrightarrow{E{C}_{1}}=（0，-1，3）$．
设平面CDF的一个法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CD}=x+y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CF}=2y+\frac{2}{3}z=0}\end{array}\right.$，取y=-1，得$\overrightarrow{m}=（1，-1，3）$；
再平面A₁C₁E的一个法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{E{A}_{1}}=2x-y+3z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{E{C}_{1}}=-y+3z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}=（0，3，1）$．
∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=1×0-1×3+3×1=0$，
∴$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$，则平面CDF⊥平面A₁C₁E；
（2）解：由（1）知，平面CDF的一个法向量$\overrightarrow{m}=（1，-1，3）$，
又平面C₁CD的一个法向量$\overrightarrow{t}=（-1，1，0）$，
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{t}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{t}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{t}|}$=$\frac{-2}{\sqrt{11}×\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{22}}{11}$，
∵二面角C₁-CD-F为锐角，
∴二面角C₁-CD-F的余弦值为$\frac{\sqrt{22}}{11}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的大小，是中档题．