Question

10．已知函数f（x）=xlnx+3x-2，射线l：y=kx-k（x≥1）．若射线l恒在函数y=f（x）图象的下方，则整数k的最大值为（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 由题意得问题等价于k＜$\frac{xlnx+3x-2}{x-1}$对任意x＞1恒成立，令g（x）=$\frac{xlnx+3x-2}{x-1}$，利用导数求得函数的最小值即可得出结论．

解答 解：由题意，问题等价于k＜$\frac{xlnx+3x-2}{x-1}$对任意x＞1恒成立．
令g（x）=$\frac{xlnx+3x-2}{x-1}$，∴g′（x）=$\frac{x-2-lnx}{（x-1）^{2}}$，
令h（x）=x-2-lnx，故h（x）在（1，+∞）上是增函数，
由于h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-ln4＞0
所以存在x₀∈（3，4），使得h（x₀）=x₀-2-lnx₀=0．
则x∈（1，x₀）时，h（x）＜0；x∈（x₀，+∞）时，h（x）＞0，
即x∈（1，x₀）时，g'（x）＜0；x∈（x₀，+∞）时，g'（x）＞0
知g（x）在（1，x₀）递减，（x₀，+∞）递增，
又g（x₀）＜g（3）=$\frac{3}{2}$ln3+$\frac{7}{2}$＜g（4）=4+2ln4，所以k_max=5．
故选B．

点评 本题主要考查利用导数研究函数单调性、最值等性质，考查学生的运算能力，综合性较强，属于中档题．