Question

10．已知x∈R，a=x²-1，b=2x+2．
（1）求a+b的取值范围；
（2）用反证法证明：a，b中至少有一个大于等于0．

Answer 1

分析 （1）利用配方法，即可求a+b的取值范围；
（2）假设a，b中没有一个不小于0，即a＜0，b＜0，所以 a+b＜0，与a+b=x²-1+2x+2=x²+2x+1=（x+1）²≥0矛盾，即可得出结论．

解答 （1）解：a+b=x²-1+2x+2=x²+2x+1=（x+1）²≥0；
（2）证明：假设a，b中没有一个不小于0，即a＜0，b＜0，所以 a+b＜0．
又a+b=x²-1+2x+2=x²+2x+1=（x+1）²≥0，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，
所以，a，b中至少有一个大于等于0．

点评 反证法，其特征是先假设命题的否定成立，推证出矛盾说明假设不成立，得出原命题成立．反证法一般适合用来证明正面证明较麻烦，而其对立面包含情况较少的情况．