Question

5．定义在R上的函数f（x）满足f'（x）＞1-f（x），f（0）=3，f'（x）是f（x）的导函数，则不等式e^xf（x）＞e^x+2（e其中为自然对数的底数）的解集是（　　）

• A． {x|x＞0}
• B． {x|x＜0}
• C． {x|x＜-1或x＞1}
• D． {x|x＜-1或0＜x＜1}

Answer 1

分析 令F（x）=e^xf（x）-e^x-2，从而求导F′（x）=e^x（f（x）+f′（x）-1）＞0，从而由导数求解不等式．

解答 解：定义在R上的函数f（x）满足f'（x）＞1-f（x），可得f（x）+f′（x）-1＞0，
令F（x）=e^xf（x）-e^x-2，
则F′（x）=e^x[f（x）+f′（x）-1]＞0，
故F（x）是R上的单调增函数，
而F（0）=e⁰f（0）-e⁰-2=0，
故不等式e^xf（x）＜e^x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（-∞，0）；
故选：B．

点评 本题考查了导数的综合应用及利用函数求解不等式，属于中档题．