Question

20．已知F为双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点，l₁，l₂为C的两条渐近线，点A在l₁上，且FA⊥l₁，点B在l₂上，且FB∥l₁，若|FA|=$\frac{4}{5}$|FB|，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$或$\sqrt{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$或$\frac{{3\sqrt{5}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 求出|FA|，|FB|，利用|FA|=$\frac{4}{5}$|FB|，建立方程，即可求出双曲线C的离心率．

解答 解：由题意，l₁：y=$\frac{b}{a}$x，l₂：y=-$\frac{b}{a}$x，F（c，0）
∴|FA|=$\frac{\frac{bc}{a}}{\sqrt{\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}+1}}$=b．
FB的方程为y=$\frac{b}{a}$（x-c），与l₂：y=-$\frac{b}{a}$x联立，可得B（$\frac{c}{2}$，-$\frac{bc}{2a}$），
∴|FB|=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{4}+\frac{{b}^{2}{c}^{2}}{4{a}^{2}}}$=$\frac{{c}^{2}}{2a}$，
∵|FA|=$\frac{4}{5}$|FB|，
∴b=$\frac{4}{5}$•$\frac{{c}^{2}}{2a}$，∴2c²=5ab，∴4c⁴=25a²（c²-a²），
∴4e⁴-25e²+25=0，
∴e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$或$\sqrt{5}$，
故选A．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法，属于中档题．