Question

5．现有3个命题：
P₁：函数f（x）=lgx-|x-2|有2个零点．
P₂：面值为3分和5分的邮票可支付任何n（n＞7，n∈N）分的邮资．
P₃：若a+b=c+d=2，ac+bd＞4，则a、b、c、d中至少有1个为负数．
那么，这3个命题中，真命题的个数是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 令f（x）=lgx-|x-2|=0，得到lgx=|x-2|，作出y=lgx，y=|x-2|的图象可知，它p₁是真命题；用数学归纳法能证明P₂是真命题；利用反证法能证明P₃为真命题．

解答 解：令f（x）=lgx-|x-2|=0，得到lgx=|x-2|，
作出y=lgx，y=|x-2|的图象可知，它们有2个交点，
从而函数f（x）=lgx-|x-2|有2个零点，故p₁是真命题；
P₂：面值为3分和5分的邮票可支付任何n（n＞7，n∈N）分的邮资，是真命题．
用数学归纳法证明：
①当n=8，9，10时，由8=3+5，9=3+3+3，10=5+5，知命题成立；
②假设当n=k（k＞7，n∈N）时，命题成立，则k=8+3m，或k=9+3m，或k=10+3m，m∈N^*，
∴当n=k+1时，则n=9+3m，或n=10+3m，或n=11+3m=8+3（m+1），m∈N^*，
∴当n=k+1时，命题成立．
由①②知P₂：面值为3分和5分的邮票可支付任何n（n＞7，n∈N）分的邮资，是真命题．
P₃：若a+b=c+d=2，ac+bd＞4，则a、b、c、d中至少有1个为负数，是真命题．
用反证法证明：
假设a，b，c，d没有1 个为负数，即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，∴ad+bc≥0，
∵a+b=c+d=2，∴（a+b）（c+d）=ac+bd+ad+bc=4，
∵ac+bd＞4，∴ad+bc＜0，
这与ad+bc≥0矛盾，故假设不成立，
∴若a+b=c+d=2，ac+bd＞4，则a、b、c、d中至少有1个为负数，
故P₃为真命题．
故选：D．

点评 本题考查命题真假的判断，涉及到对数函数、含绝对值的函数、数学归纳法、反证法、作图法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．