Question

15．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1$在y轴正半轴上的焦点为F，过F且倾斜角为$\frac{3π}{4}$的直线l与C交于M，N两点，四边形OMPN为平行四边形．
（1）判断点P与椭圆的位置关系；
（2）求平行四边形OMPN的面积．

Answer 1

分析 （1）根据题意，由椭圆的方程可得其焦点坐标为（0，1），由点斜式方程可得直线的方程，与C联立得：5x²-4x-4=0，设出M、N、P的坐标，由平行四边形的性质以及向量加法的性质可得$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$，即（x₃，y₃）=（x₁，y₁）+（x₂，y₂），可以求出P的坐标，由点与椭圆的位置关系分析可得答案；
（2）由（1）可得|MN|的值以及点O到直线l的距离，进而由四边形面积公式计算可得答案．

解答 解：（1）根据题意，椭圆C的方程为：$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1$，易得F（0，1），
直线l的斜率k=-1，l的方程为y=-x+1，
与C联立得：5x²-4x-4=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），
则有${x_1}+{x_2}=\frac{4}{5}$，${x_1}{x_2}=-\frac{4}{5}$．
∵四边形OMPN为平行四边形，
∴$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$，即（x₃，y₃）=（x₁，y₁）+（x₂，y₂）．
所以${x_3}={x_1}+{x_2}=\frac{4}{5}$，${y_3}={y_1}+{y_2}=-（{x_1}+{x_2}）+2=\frac{6}{5}$，故$P（{\frac{4}{5}，\;\;\frac{6}{5}}）$．
∵$\frac{{{{（{\frac{4}{5}}）}^2}}}{2}+\frac{{{{（{\frac{6}{5}}）}^2}}}{3}=\frac{4}{5}＜1$，所以P在椭圆内．
（2）由（1）可得：椭圆C的方程为：$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1$，直线的方程为y=-x+1，
联立可得5x²-4x-4=0，
则有${x_1}+{x_2}=\frac{4}{5}$，${x_1}{x_2}=-\frac{4}{5}$，
则$MN=\sqrt{（1+{k^2}）}|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{（1+{k^2}）[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}]}$=$\sqrt{2×[{{{（{\frac{4}{5}}）}^2}-4×（{-\frac{4}{5}}）}]}=\frac{8}{5}\sqrt{3}$，
原点O到直线l的距离为$h=\frac{|-1|}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
则平行四边形OMPN的面积$S=2{S_{△MON}}=|MN|\;•\;h=\frac{4}{5}\sqrt{6}$．

点评 本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键是灵活运用椭圆的性质．