Question

8．设函数f（x）是定义在R上的以5为周期的奇函数，若$f（2）＞1，f（3）=\frac{{{a^2}+a+3}}{a-3}$，则a的取值范围是（-∞，-2）∪（0，3）．

Answer 1

分析 根据函数是以5为周期的奇函数，得f（2）=f（-3），结合函数为奇函数，得f（-3）=-f（3）由此结合f（2）＞1建立关于a的不等式，解之可得a的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）以5为周期，∴f（2）=f（-3），
又∵f（3）=$\frac{{a}^{2}+a+3}{a-3}$，函数是奇函数
∴f（-3）=-f（3）=-$\frac{{a}^{2}+a+3}{a-3}$，
因此，f（2）=-$\frac{{a}^{2}+a+3}{a-3}$＞1，解之得0＜a＜3或a＜-2
故答案为：（-∞，-2）∪（0，3）．

点评 本题在已知函数为奇函数且是周期函数的情况下，解关于a的不等式，考查了函数的奇偶性和周期性，以及不等式的解法等知识，属于基础题．